Algèbre au brevet : équations, factorisation et fonctions
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L’algèbre fait partie des domaines travaillés dans l’épreuve de mathématiques du brevet des collèges. Cet article porte sur deux thèmes : la résolution d’équations et l’étude des fonctions. Ces deux domaines demandent une bonne maîtrise des techniques de calcul et des notions de base. Voici une approche structurée pour progresser sur ces thèmes.
Équations du premier degré : les bases indispensables
Les équations du premier degré constituent le fondement de l’algèbre au brevet. Ces exercices demandent de trouver la valeur de l’inconnue en isolant les termes contenant cette variable.
Pour résoudre une équation du type ax + b = c, il faut appliquer les opérations inverses de manière progressive :
- Soustraire ou ajouter le même terme des deux côtés de l’égalité
- Multiplier ou diviser par le même coefficient non nul
- Vérifier la solution en la substituant dans l’équation initiale
- Exprimer la réponse sous forme décimale ou fractionnaire selon le contexte
Équations à deux membres complexes
Les exercices de brevet proposent souvent des équations avec variables des deux côtés, par exemple : 3x + 5 = 2x + 9. La stratégie consiste à regrouper tous les termes en x d’un côté et les constantes de l’autre. Cette organisation préalable réduit les erreurs de calcul et clarifie la démarche.
Équations du second degré et factorisation
Au collège, on ne résout pas d’équation du second degré avec une formule : on utilise la factorisation pour se ramener à une équation produit, c’est-à-dire un produit de facteurs égal à zéro. Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est nul.
Utiliser les identités remarquables
Les trois identités à connaître parfaitement pour factoriser rapidement :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a – b)² = a² – 2ab + b²
- (a + b)(a – b) = a² – b²
Une équation comme x² – 4 = 0 se factorise en (x – 2)(x + 2) = 0, donnant les solutions x = 2 ou x = -2. Maîtriser cette reconnaissance immédiate des formes gagne du temps précieux lors de l’examen.
Factorisation par facteur commun
Certaines équations cachent un facteur commun évident. Par exemple : 2x² + 6x = 0 se factorise en 2x(x + 3) = 0, donnant x = 0 ou x = -3. Avant de chercher des identités remarquables, vérifie toujours la présence d’un facteur commun qui simplifie l’expression.
Fonctions linéaires et affines au brevet
Les exercices sur les fonctions linéaires et affines exigent de bien distinguer ces deux familles et d’en maîtriser les propriétés graphiques et algébriques.
Fonctions linéaires : f(x) = ax
Une fonction linéaire passe toujours par l’origine du repère (0, 0). Le coefficient a est le coefficient directeur ou pente de la droite. Son calcul s’effectue ainsi :
- À partir de deux points connus, utiliser : a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
- Vérifier que la relation est proportionnelle (y/x est constant)
- Représenter graphiquement en traçant la droite passant par l’origine
Fonctions affines : f(x) = ax + b
Les fonctions affines généralisent les fonctions linéaires en introduisant une ordonnée à l’origine notée b. Cette constante b est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées. Les exercices du brevet peuvent demander de déterminer a et b à partir de deux points ou d’un graphique.
Étapes clés pour analyser une fonction affine :
- Identifier l’ordonnée à l’origine (où x = 0)
- Calculer la pente en choisissant deux points distincts
- Vérifier la cohérence en remplaçant les points dans f(x) = ax + b
- Résoudre f(x) = 0 pour trouver l’abscisse du point d’intersection avec l’axe des abscisses
Trois exercices corrigés : mise en équation, factorisation, fonction affine
Chaque exercice reprend une notion de cet article. Cherche d’abord seul, puis compare ta démarche au corrigé.
Exercice 1 : choisir entre deux tarifs
Énoncé : Un cinéma propose un abonnement à 18 € par mois, puis 4 € la séance. Sans abonnement, la séance coûte 9 €.
- Pour combien de séances par mois les deux formules coûtent-elles le même prix ?
- À partir de combien de séances l’abonnement devient-il plus avantageux ?
Corrigé
- On note x le nombre de séances. Avec abonnement : 18 + 4x ; sans abonnement : 9x.
- Même prix : 18 + 4x = 9x, donc 18 = 5x et x = 3,6.
- Un nombre de séances est entier : on compare autour de 3,6. Pour 3 séances : 18 + 12 = 30 € contre 27 € sans abonnement.
- Pour 4 séances : 18 + 16 = 34 € contre 36 €. L’abonnement devient avantageux à partir de 4 séances.
Exercice 2 : une équation produit cachée
Énoncé : Résoudre l’équation (2x − 1)² − 9 = 0.
Corrigé
- On reconnaît a² − b² avec a = 2x − 1 et b = 3, car 9 = 3².
- Factorisation : (2x − 1 − 3)(2x − 1 + 3) = 0, soit (2x − 4)(2x + 2) = 0.
- Un produit est nul si l’un des facteurs est nul : 2x − 4 = 0 ou 2x + 2 = 0.
- Solutions : x = 2 ou x = −1.
- Vérification : (2 × 2 − 1)² − 9 = 9 − 9 = 0 et (2 × (−1) − 1)² − 9 = 9 − 9 = 0. ✓
Exercice 3 : retrouver une fonction affine
Énoncé : Une fonction affine g vérifie g(1) = 5 et g(4) = −1.
- Déterminer l’expression de g(x).
- Calculer l’antécédent de 0 par g.
Corrigé
- Coefficient : a = (−1 − 5) / (4 − 1) = −6 / 3 = −2.
- Avec le point (1 ; 5) : 5 = −2 × 1 + b, donc b = 7. On obtient g(x) = −2x + 7.
- Contrôle avec le second point : g(4) = −8 + 7 = −1. ✓
- Antécédent de 0 : −2x + 7 = 0, donc x = 3,5. La droite coupe l’axe des abscisses au point (3,5 ; 0).
Pour travailler aussi Thalès, Pythagore, les pourcentages ou les probabilités : 10 exercices types de maths corrigés pas à pas.
Questions fréquentes
Quels types d’équations faut-il savoir résoudre pour le brevet ?
Il faut savoir résoudre les équations du premier degré et les équations produit (un produit de facteurs égal à zéro, obtenu après factorisation), souvent à partir d’un problème à mettre en équation. Cet article détaille ces deux types.
Comment vérifier le résultat d’une équation ?
Remplace l’inconnue par la valeur trouvée dans l’équation de départ et calcule chaque membre séparément : si les deux résultats sont égaux, la solution est correcte. Cette vérification est rapide et permet de repérer une erreur de calcul.
Comment déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de deux points ?
Calcule d’abord le coefficient a avec a = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁), puis remplace x et y par les coordonnées d’un des deux points dans f(x) = ax + b pour trouver b. Vérifie enfin avec le second point.
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